1、8.1.1Δ 函數(shù)的定義我們知道，一般函數(shù)的定義是對(duì)于自變量x的每一個(gè)值，都有特定函數(shù)值f（x）與之對(duì)應(yīng)，f（x）稱為在點(diǎn)x處的函數(shù)值。
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2、然而，這里我們要討論的δ函數(shù)不是這種通常意義下的函數(shù)，因?yàn)樗鼪](méi)有通常意義下的“函數(shù)值”；它的運(yùn)算作用只有出現(xiàn)在積分號(hào)里才能體現(xiàn)出來(lái)，它是某種復(fù)雜極限過(guò)程的簡(jiǎn)化符號(hào)，是廣義函數(shù)的一種。
3、所謂狄拉克δ函數(shù)是這樣一個(gè)算符δ（x），它使得對(duì)任何在x=0點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)f（x），有下式成立：地球物理數(shù)據(jù)處理教程為理解δ（x），對(duì)h＞0引進(jìn)如下函數(shù)序列地球物理數(shù)據(jù)處理教程由積分中值定理可知，存在ξ且｜ξ｜＜ ，使得有地球物理數(shù)據(jù)處理教程于是得到：地球物理數(shù)據(jù)處理教程由此可以直觀地知道，由嚴(yán)格的理論也可以證明，δ（x）是δh（x）在某種意義下的極限。
4、因?yàn)榈厍蛭锢頂?shù)據(jù)處理教程故可將δ（x）粗糙地理解為滿足地球物理數(shù)據(jù)處理教程及地球物理數(shù)據(jù)處理教程的一個(gè)較通常函數(shù)意義更廣的“函數(shù)”，（8.1.3）式是（8.1.1）式令f≡1而得到的。
5、物理上常用δ函數(shù)來(lái)描述集中分布的量，如集中質(zhì)量、集中電荷等，設(shè)在x軸上有一單位質(zhì)量集中在原點(diǎn)，用δ（x）表示密度分布函數(shù)，則在x≠0時(shí)，δ（x）=0。
6、如果取δ（x）=C為有限常數(shù)，δ（x）便是一個(gè)通常意義下的分段連續(xù)函數(shù)，按照一般的積分計(jì)算有 δ（x）dx=0，即總質(zhì)量為零，這與假設(shè)直線上具有單位質(zhì)量相矛盾。
7、故不能取δ（0）等于有限常數(shù)。
8、事實(shí)上，若在x軸上取Δl為包含原點(diǎn)的區(qū)間段，ΔM為該段總的質(zhì)量，則密度應(yīng)為：地球物理數(shù)據(jù)處理教程由此可見(jiàn)，這里引入δ函數(shù)恰好描述了集中質(zhì)量問(wèn)題。
9、在電法勘探問(wèn)題中，δ函數(shù)就恰好描述點(diǎn)源的電荷（或電流）密度。
10、上面我們定義了一維且奇點(diǎn)在x=0處的δ函數(shù)，對(duì)n維且奇點(diǎn)在任意點(diǎn)（ 、 ，…， ）的δ函數(shù)可類似地定義，即它是這樣一個(gè)算符δ（x1- ）δ（x2- ）…δ（xn- ），使得對(duì)任何在點(diǎn)（ ， ，…， ）連續(xù)的函數(shù)f（x1，x2，…，xn），有地球物理數(shù)據(jù)處理教程成立，特別當(dāng)取n=1，x1=x， =0時(shí)，則得到（8.1.1）式。
11、實(shí)際上n維δ函數(shù)可寫(xiě)成n個(gè)一維δ函數(shù)的乘積的形式。
12、同樣它還應(yīng)滿足：地球物理數(shù)據(jù)處理教程及地球物理數(shù)據(jù)處理教程本書(shū)中只涉及二維或三維的δ函數(shù)。
13、對(duì)于一個(gè)有限的研究域，關(guān)于δ函數(shù)，我們還能給出下面常用結(jié)果，例如以二維情況為例：地球物理數(shù)據(jù)處理教程式中D為一個(gè)二維區(qū)域，f（x1，x2）在（ ， ）處連續(xù)，在第二個(gè)等式中，要求D的邊界Γ在奇點(diǎn)（ ， ）附近是光滑的，特殊情況，當(dāng)f=1時(shí)，可得：地球物理數(shù)據(jù)處理教程現(xiàn)在給出（8.1.7）式的一個(gè)直觀證明，當(dāng)x0=（ ， ）在D外，由（8.1.5）式知δ在D及其邊界上恒為零，這時(shí)（8.1.7）式左部可理解為零函數(shù)在通常意義下的積分，其積分值為零，當(dāng)x0在D內(nèi)時(shí)，這時(shí)δ在D的邊界和外部恒為零，于是在這些部分的積分也為零，故地球物理數(shù)據(jù)處理教程圖8.1 D∩B的二維幾何表示從而由（8.1.4）式可知（8.1.7）式中第三等式成立，對(duì)于奇點(diǎn)x0在區(qū)域邊界Γ的情況，令B（x0，ε）是以x0為圓心、ε為半徑的開(kāi)圓（在一維情況是開(kāi)區(qū)間，三維情況下是不含球面的球體，n維情況下為n維開(kāi)球），注意到δ在B（x0，ε）的外部和邊界上為零，知地球物理數(shù)據(jù)處理教程式中D∩B表示D域和B圓重合的部分，即圖8.1中陰影部分，另外有地球物理數(shù)據(jù)處理教程因?yàn)棣Ｔ趚0附近光滑，故當(dāng)ε趨于零時(shí)，D∩B域趨于半圓，這樣，由以上兩式有地球物理數(shù)據(jù)處理教程這便是（8.1.7）式中的第二等式。
14、8.1.2Δ 函數(shù)的性質(zhì)及其傅氏變換對(duì)于一維情況，給出δ函數(shù)的一些常用性質(zhì)及其傅氏變換，均設(shè)f（x）在奇點(diǎn)處連續(xù)。
15、由（8.1.7）式有地球物理數(shù)據(jù)處理教程另外，設(shè)αα2為常數(shù)，δ函數(shù)對(duì)加法運(yùn)算是線性的。
16、地球物理數(shù)據(jù)處理教程對(duì)于任何在x0處連續(xù)的函數(shù)f（x），有地球物理數(shù)據(jù)處理教程上式稱為δ函數(shù)的篩選性質(zhì)。
17、由于地球物理數(shù)據(jù)處理教程可知地球物理數(shù)據(jù)處理教程由于地球物理數(shù)據(jù)處理教程故有δ（x）f（x）=δ（x）f（0） （8.1.14）或同樣δ（x-x0）f（x）=δ（x-x0）f（x0） （8.1.15）如果（8.1.14）式中取f（x）=x，得xδ（x）=0 （8.1.16）若取f（x）在區(qū)間（-∞，α）（α為正數(shù)）外等于零，那么f（0）=0，于是地球物理數(shù)據(jù)處理教程由此推知δ（x）=0 x ＜ 0 （8.1.17）同理可得δ（x）=0 x＞0 （8.1.18）這便是（8.1.2）式的由來(lái)。
18、兩個(gè)δ函數(shù)的褶積由下式確定。
19、地球物理數(shù)據(jù)處理教程于是地球物理數(shù)據(jù)處理教程下面我們給出δ函數(shù)的傅氏變換，根據(jù)δ函數(shù)的定義（8.1.1）式有地球物理數(shù)據(jù)處理教程反過(guò)來(lái)，數(shù)學(xué)上可以證明地球物理數(shù)據(jù)處理教程即是說(shuō)δ（x）與1組成傅氏變換對(duì)，由（8.1.10）式設(shè)f（x）=cosωx，可得δ的余弦變換為地球物理數(shù)據(jù)處理教程。
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